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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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3. Una partícula se mueve de acuerdo con la información dada. Determinar la posición s(t)s(t) de la partícula sabiendo que v(t)v(t) es la función de velocidad en el instante tt y que a(t)a(t) es la función que da la aceleración de la partícula en el instante tt :
b) a(t)=3cos⁡(t)−2sen⁡(t),s(0)=0,v(0)=0a(t)=3 \cos (t)-2 \operatorname{sen}(t), s(0)=0, v(0)=0

Respuesta

En este caso nos dan la función aceleración, así que, siguiendo lo que charlamos en el item anterior, vamos a integrar primero para obtener la función velocidad y después integraremos una vez más para finalmente obtener la función posición :)

Vamos con eso:

v(t)=∫a(t) dt=∫(3cos⁡(t)−2sin⁡(t)) dt=3sin⁡(t)+2cos⁡(t)+C1v(t) = \int a(t) \, dt = \int (3 \cos(t) - 2 \sin(t)) \, dt = 3 \sin(t) + 2 \cos(t) + C_1

Ahora aplicamos la condición inicial v(0)=0v(0) = 0 para encontrar C1C_1: 0=3sin⁡(0)+2cos⁡(0)+C10 = 3 \sin(0) + 2 \cos(0) + C_1 C1=−2C_1 = -2 Por lo tanto, la función de velocidad es: v(t)=3sin⁡(t)+2cos⁡(t)−2v(t) = 3 \sin(t) + 2 \cos(t) - 2

Ahora integramos una vez más para encontrar la función posición:

s(t)=∫v(t) dt=∫(3sin⁡(t)+2cos⁡(t)−2) dt=−3cos⁡(t)+2sin⁡(t)−2t+C2s(t) = \int v(t) \, dt = \int (3 \sin(t) + 2 \cos(t) - 2) \, dt = -3 \cos(t) + 2 \sin(t) - 2t + C_2

Ahora aplicamos la condición s(0)=0s(0) = 0 para encontrar C2C_2: 0=−3cos⁡(0)+2sin⁡(0)−2⋅0+C20 = -3 \cos(0) + 2 \sin(0) - 2 \cdot 0 + C_2 C2=3C_2 = 3 La función de posición s(t)s(t) que estábamos buscando es entonces: s(t)=−3cos⁡(t)+2sin⁡(t)−2t+3s(t) = -3 \cos(t) + 2 \sin(t) - 2t + 3
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